И.Т. Хабибуллин (ИМ УФИЦ РАН)
Об одном классе интегрируемых цепочек в 3D
Аннотация
Обсуждается проблема классификации интегрируемых цепочек типа двумеризованной цепочки Тоды.
Л.В. Богданов (ИТФ)
О некоторых линейных уравнениях, связанных с бездисперсионными интегрируемыми системами
Аннотация
По части работы "Матричное расширение многомерных бездисперсионных интегрируемых иерархий" (ТМФ, 209(1), 3-15 (2021); arXiv: 2105.14264), связанной с абелевым расширением пар Лакса, задаваемых векторными полями.
В.В. Соколов (ИТФ)
По направлению к классификации матричных уравнений \(P_6\)
Аннотация
Рассматривается задача о классификации интегрируемых упрощенных систем типа \(P_6\), правая часть которых не зависит от \(t\).
Рабочий доклад.
В.Э. Адлер (ИТФ)
Цепочки Богоявленского и обобщённые числа Каталана
Аннотация
Несколько лет назад А.Б. Шабат предложил задачу о распаде единичного решения цепочки Вольтерры при обрыве на полупрямую. Она немного напоминает задачу Гуревича-Питаевского о ступеньке для КдФ, но оказалась проще, так как ответ находится точно. Один способ решения основан на наблюдении, что ряд Тейлора для тау-функции цепочки служит экспоненциальной производящей функцией для чисел Каталана; это можно доказать, используя известный в комбинаторике результат о том, что преобразование Ханкеля для чисел Каталана дает единичную последовательность. Второй способ использует конечномерную редукцию, связанную с мастер-симметрией цепочки; решение с рассматриваемым начальным условием содержится внутри этой редукции. В одной из наших работ было анонсировано, что аналогичные решения можно построить для цепочек Богоявленского, причем коэффициентами рядов Тейлора служат обобщенные числа Каталана (известные в комбинаторике). Однако, эта задача оказалась несколько сложнее. В докладе будут приведены результаты, полученные на данный момент, в том числе для некоторых более общих начальных условий.
M.V. Pavlov (Lebedev Physical Institute)
El's Nonlocal Kinetic equation and its Hydrodynamic Reductions
Abstract
We construct:
И.А. Боброва (ВШЭ)
Симметрии второго уравнения Пенлеве
Аннотация
Мы рассмотрим некоторые авто-преобразования Бэклунда уравнения P2, композиции которых образуют аффинную группу Вейля типа A1. Оказывается, что действие расширенной группы Вейля на tau-функцию уравнения Пенлеве можно записать в виде замкнутой цепочки Тоды. Так как решения цепочки Тоды имеют детерминантную структуру, то и общие решения P2 обладают этой же детерминантной структурой. Рассматриваемые конструкции применимы к любому уравнению Пенлеве, кроме первого. Доклад является реферативным, и все ссылки на литературу будут даны в ходе доклада.
14:00 В.В. Соколов (ИТФ)
О матричных уравнениях Пенлеве-4
(доклад основан на совместной работе с И.А. Бобровой)
Аннотация
С помощью матричного теста Пенлеве найдены 3 неэквивалентных обобщения уравнения P4, записанного в виде полиномиальной системы. Для них построены изомонодромные пары Лакса и предельные переходы, связывающие их с матричными уравнениями P2, полученными В. Адлером и В. Соколовым.
14:00 В.Э. Адлер (ИТФ)
Некоторые результаты о уравнениях типа Пенлеве порядков 4 и 5
(реферативный доклад по статьям Cosgrove)
Аннотация
Для ОДУ порядков выше второго известно большое число примеров, обладающих свойством Пенлеве, но их классификация является очень трудной открытой задачей. Частичные результаты удалось получить только при некоторых дополнительных ограничениях. Для порядка 3, основные результаты принадлежат Шази (1911) и Бюро (1972). Для порядков 4 и 5, разумным дополнительным требованием служит полиномиальность правой части по \(y\) и производным. Классификация таких уравнений получена C.M. Cosgrove (2000, 2006) — полная для порядка 4 и частичная для порядка 5. В этих же работах для найденных уравнений довольно подробно исследованы преобразования Бэклунда и семейства специальных решений. В докладе, я опишу некоторые результаты из этих статей и добавлю свои замечания: проиллюстрирую схему анализа резонансов на Mathematica, приведу операторные представления \([A,L]=1\) для некоторых уравнений, обсужу связь уравнения Fif-II с матричным P-I.
13:00 И.А. Боброва (ВШЭ)
О матричных Пенлеве-4
Аннотация
Шесть классов уравнений Пенлеве определяют новые «нелинейные» специальные функции и появились в результате классификации комплексных нелинейных ODEs второго порядка, общее решение которых содержит только подвижные полюса (свойство Пенлеве). Необходимым условием для свойства Пенлеве является выполнение теста Пенлеве-Ковалевской: формальное решение ODE n-го порядка содержит n произвольных постоянных. Мы рассмотрим матричное обобщение теста Пенлеве-Ковалевской и его применение к классификации матричных аналогов четвертого уравнения Пенлеве.
13:00 М.В. Павлов (ФИАН)
Связь уравнения Шази и уравнений Уизема
Аннотация
Рассматривается периодическое решение КдФ, вычисляются моменты (усреднённые мономы периодического решения КдФ). Получаются широко-известные рекурентные формулы, связывающие эти моменты. Затем используются рекурентные формулы В.Н. Богаевского, связывающие производные от этих моментов. Выводится решение уравнения Шази. Таким образом, получается решение уравнение Шази, выражающееся через полные эллиптические интегралы первого и второго родов. Эти формулы можно найти, например, в справочнике Абрамовица-Стегуна. Только там нет упоминания уравнения Шази.
13:00 О.И. Морозов (университет AGH, Краков, Польша)
Представления Лакса и нецентральные расширения алгебр симметрий нелинейных дифференциальных уравнений
Аннотация
Доклад будет посвящен технике нахождения представлений Лакса нелинейных дифференциальных уравнений с помощью нецентральных расширений их алгебр контактных симметрий. Примеры будут включать представления Лакса с неустранимым параметром и интегрируемые иерархии, связанные с некоторыми дифференциальными уравнениями.
13:00 O.I. Morozov (AGH University of Science and Technology, Cracow, Poland)Abstract
My talk will describe the technique of constructing Lax representations for partial differential equations via non-central extensions of their contact symmetry algebras. The examples will include Lax representations with non-removable parameters and integrable hierarchies associated to some PDEs.
15:00 М.В. Павлов (ФИАН)
Би-гамильтоновые системы гидродинамического типа
Аннотация
Мы рассматриваем би-гамильтоновые системы гидродинамического типа с точки зрения классической дифференциальной геометрии, и обсуждаем открытые задачи.
В инвариантах Римана, эта задача сводится к интегрируемым системам, коэффициенты линейных пар Лакса которых явно зависят от независимых переменных. То есть, такие задачи принадлежат к более сложному классу интегрируемых систем, чем такие известные системы уравнений как уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шрёдингера и другие...
В плоских координатах, эта задача сводится к набору коммутирующих систем гидродинамического типа, которые интегрируемы методом обратной задачи. С одной стороны, коэффициенты соответствующих линейных пар Лакса не зависят явно от независимых переменных (в этих плоских координатах). С другой стороны, полученные системы гидродинамического типа являются системами, которые совершенно не изучены, и здесь открываются значительные перспективы как и в их изучении, так и в их интегрировании.
13:00 Борис Кругликов (Арктический Университет Норвегии, Тромсё)
О бездисперсионных интегрируемых системах: от Хироты до общих уравнений второго порядка
Аннотация
Какие ограничения накладывает интегрируемость на форму бездисперсионного уравнения? Как тестировать интегрируемость? В докладе я дам (частичные) ответы на эти вопросы, приведу примеры и обсужу интересные (с моей точки зрения) открытые проблемы. Доклад основан на совместных работах с Е. Ферапонтовым, В. Новиковым, Б. Дубровым, Д. Кальдербанком, О. Морозовым.
13:00 А.Б. Шабат
Обобщенные многочлены Чебышева и дискретное преобразование Фурье
Аннотация
Многочлены Лорана инвариантные относительно инволюции называются обобщенными многочленами Чебышева. Изучаются условия коммутирования трёхдиагональных матриц с такими элементами с матрицами Вандермонда. Обсуждается связь этой задачи с дискретным преобразованием Фурье.
13:00 А.Р. Хакимова, Институт математики УФИЦ РАН, Уфа
Обобщенные инвариантные многообразия и их приложения в теории интегрируемости
Аннотация
В докладе предполагается обсудить новый алгоритм построения пары Лакса и оператора рекурсии для интегрируемых уравнений при помощи обобщенного инвариантного многообразия.
13:00 Raffaele Vitolo, Università del Salento
Projective-geometric aspects of WDVV equations
Abstract
In this talk we will uncover new projective-geometric aspects of the
WDVV equations in the light of recent developments about the
projective-geometric nature of their (bi)-Hamiltonian formalism.
Joint work with E. Ferapontov and M. Pavlov.
13:00 В.В. Соколов
О новых результатах в теории многополевых интегрируемых систем
Аннотация
В докладе будет сделан обзор результатов, полученных недавно для многополевых интегрируемых систем, в том числе, полиномиальных, связанных с неассоциативными алгебраическими структурами и систем геометрического типа, связанных с пространствами аффинной связности.
13:00 М.В. Павлов (ФИАН)
Интегрируемость системы Гиббонса-Царева
Аннотация
Система Гиббонса-Царева описывает множество двумерных многокомпонентных гидродинамических редукций цепочки моментов Бенни (в гидродинамике) и бездисперсионного предела трехмерного уравнения Кадомцева-Петвиашвили (в аэродинамике известного как уравнение Лин-Рейснер-Циен). Система Гиббонса-Царева имеет "пару Лакса", но не интегрируема стандартным методом обратной задачи. Ранее были известны частные решения системы Гиббонса-Царева в \(N\)-компонентном случае, зависящие не более чем от \(N+M+2\) констант, где \(M\) – это число первых моментов, от которых зависит анзац (\(M = 0,1,2,...\)). Теперь для любого \(N\), и для любого \(M\) найдено бесконечно много частных решений, зависящих от произвольного числа констант, то есть: \(N+M+2+K\), где \(K\) – число дополнительных особых точек в анзаце.
14:00 Р.Н. Гарифуллин (Институт математики, Уфа)
Симметрийная классификация пятиточечных дифференциально-разностных уравнений
Аннотация
Проводится классификация пятиточечных дифференциально-разностных уравнений, линейных по старшим сдвигам. В качестве критерия интегриуемости используется наличие высшей симметрии. В этот подкласс входят такие уравнения как уравнение Ито-Нариты-Богоявленского и дискретный аналог уравнения Савады-Котеры. В результате получен список из 31-го уравнения, некоторые из которых являются новыми. В частности найден дискретный аналог уравнения Каупа-Купершмидта.
13:00 В.В. Соколов
Классификация интегрируемых неабелевых ОДУ
Аннотация
Изучаются интегрируемые системы ОДУ с однородной квадратичной правой частью и двумя неизвестными, которые являются матрицами произвольного размера.
13:00 М.В. Павлов (ФИАН)
Интегрируемость исключительных систем гидродинамического типа
Аннотация
In this talk we consider non-diagonalisable hydrodynamic type systems integrable by the Extended Hodograph Method. We restrict our consideration to non-diagonalisable hydrodynamic reductions of the Mikhalëv system. We show that families of these hydrodynamic type systems are reducible to the heat hierarchy. Then we construct new particular solutions for the Mikhalëv system.
13:00 М.В. Павлов (ФИАН)
Integrable Dispersive Chains and their Multi-Phase Solutions
Аннотация
We consider a family of integrable dispersive chains, which have infinitely many dispersive reductions, including the KdV equation, the Ito system, the Kaup-Boussinesq system, etc.
For these dispersive chains we construct multi-phase solutions, parameterised by an arbitrary number of constants.
Simultaneously, we construct multi-phase solutions for the dispersive reductions.
Remark: The method used for construction of multi-phase solutions is based on original papers written by B.A. Dubrovin, A.R. Its and V.B. Matveev.
13:00 М.В. Павлов (ФИАН)
A new class of solutions for the multi-component extended Harry Dym equation
Аннотация
We construct a transformation between two integrable systems (the mutli-component Harry Dym equation and the multi-component extended Harry Dym equation). However this transformation does not preserve a class of multi-phase solutions. Thus, we found a new type of solutions.
13:00 А.В. Литвинов
Конформные теории Тоды и \(W\)-алгебры
Аннотация
Я расскажу о нашей последней работе. Мы рассматривали задачу о классификации \(W\)-алгебр (алгебр высшего спина) коммутирующих с некоторым набором экспоненциальных операторов. Полной классификации построить не удалось, но было найдено несколько интересных решений. В классическом пределе голоморфные токи должны переходить в соответствующие величины для двумерного уравнения Тоды (скалярное поле с экспоненциальным взаимодействием).
13:00 А.Б. Шабат
О конструктивной теории рассеяния
Аннотация
Рассматривается задача о факторизации матрицы рассеяния для уравнения Шредингера на вещественной оси. Найдены элементарные блоки факторизации в финитном и нефинитном случаях. Установлена связь с матричной задачей сопряжения. Указана общая схема построения широкого класса матриц рассеяния допускающих квазирациональную факторизацию.
13:00 В.Г. Марихин
Квазиштеккелевы гамильтонианы, канонические преобразования
Беклунда и другие аспекты теории интегрируемых систем
Аннотация
Будет представлен обзор результатов, полученных автором в докторской диссертации. Они включают исследование двух- и трех-компонентных квазиштеккелевых гамильтонианов, в классическом и квантовом случаях, развитие метода получения преобразований Беклунда, основанного на инвариантности вариации действия, применение метода одевания к системам с разделенными переменными, представление кулоновского газа для рациональных решений уравнений Пенлеве PII--PIV, классификацию скалярных динамических систем с квадратичной нелинейностью в представлении Фурье.
13:00 В.В. Соколов
Полиномиальные формы гамильтонианов Калоджеро-Мозера и коммутативные
подалгебры в универсальных обертывающих алгебрах
Аннотация
В случаях \(n=2,3\) найдены коммутативные подалгебры в универсальной обертывающей алгебре Ли \(gl(n+1)\), порождающие полиномиальные формы. В классическом пределе имеется подалгебра \(A\), коммутативная относительно линейной скобки Пуассона \(gl(n+1)\). В случае \(n=2\) найдена квадратичная скобка Пуассона, совместная с линейной и такая, что функции Казимира связки порождают \(A\).
13:00 М.В. Павлов (ФИАН)
Intermediate integrable dispersive system of the Camassa--Holm type
Аннотация
Будет представлена интегрируемая система уравнений, которая имеет два интересных предельных случая:
1. бездисперсионный предел -- би-гамильтонова система гидродинамического типа, интегрируемая методом обобщенного годографа;
2. высоко-частотный предел -- би-гамильтонова система, ранее известная как система уравнений ассоциативности.
Последняя система была изучена Б.А. Дубровиным. Для нее Е.В. Ферапонтовым, С.А.П. Гальвоном, О. Моховым и Я. Нутку была найдена би-гамильтонова структура.
В докладе будет показано, что промежуточная дисперсионная система типа Камасса-Холма имеет также две гамильтоновы структуры, которые мы будем называть квази-локальными.
Теория конечно-зонного интегрирования, по-видимому, должна заметно отличаться для систем общего положения (в данном случае имеется в виду сама промежуточная система) и системами уравнений, которые получаются из высоко-частотного предела (в данном случае имеется в виду система уравнений ассоциативности).
13:00 А.Б. Шабат
Функциональное уравнение Кантора.
Аннотация
В связи с теорией рассеяния для уравнения Шредингера с финитным потенциалом, являющимся конечной мерой Бореля, рассмотрен класс целых функций экспоненциального типа. Эти функции обладают своеобразной автомодельностью и удовлетворяют $q$-разностным функциональным уравнениям. Исследована их асимптотика и распределение нулей.
13:00 М.В. Павлов (ФИАН)
Интегрируемые линеаризуемые би-гамильтоновы
системы специального вида.
Аннотация
Система Гуревича-Зыбина обобщена на произвольную нелинейность и дисперсию, с основным условием -- сохранением специальной пары локальных лагранжевых представлений. Показано, что все такие системы линеаризуются подходящим преобразованием по решению.
13:00 А.Б. Шабат
Обратная задача в классе финитных потенциалов.
Аннотация
Рассматривается вопрос о приближённом решении обратной задачи рассеяния в случае финитных потенциалов. Сначала устанавливается связь обратной задачи с матричной задачей Римана-Гильберта и доказывается соответствующая теорема единственности.
13:00 П.Г. Гриневич, Р.Г. Новиков
Преобразование Мутара для обобщенных аналитических функций и двумерная
обратная задача рассеяния при энергиях выше основного состояния.
Аннотация
В работе П.Г. Гриневича и С.П. Новикова 1988 года при рассмотрении задачи рассеяния для двумерного оператора Шредингера при фиксированной отрицательной энергии выше основного состояния естественно возникают обобщенные аналитические функции с особенностями полюсного типа на контурах, причем, по-видимому, необходимо накладывать на особенности данных d-bar задачи довольно жесткие условия вблизи этих контуров. До недавнего времени не удавалось найти подхода к созданию теории обобщенных аналитических функция с такими особенностями. Нами показано, что на обобщенных аналитических функциях действуют преобразования Мутара, причем если регулярные решения переходят в особые, то в случае общего положения возникают в точности особенности, описанные в работе П.Г. Гриневича и С.П. Новикова. Верно и обратное - описанные в этой работе особенности могут быть, по крайней мере локально, устранены преобразованием Мутара.
13:00 E.В. Юшков (МГУ, физический факультет)
Метод пробных функций при изучении разрушения решений в уравнениях с гидродинамической нелинейностью.
Аннотация
Одно из интереснейших свойств нелинейных уравнений -- возможность глобальной во времени неразрешимости при существовании решений на достаточно малых временах. Простейшим примером такого поведение может служить задача для уравнения простой волны, решение которой описывает "укручающийся" со временем профиль, "опрокидывающийся" за конечное время. Подобное явление, когда решение, его производные или некоторый функционал обращается в бесконечность за конечное время, называется разрушением. Доклад посвящен исследованию явления разрушения при изучении уравнений, содержащих нелинейность $uu_x$, наиболее часто встречающуюся в различных моделях гидродинамики. Речь пойдет о методе пробных функций, предложенном С.И. Похожаевым для уравнения Кортвега-де-Фриза на прямой. При этом основное внимание будет уделено не задаче Коши, а начально-краевым задачам с классическими и специальными граничными условиями, а также доказательству локальной во времени разрешимости одновременной с разрушением, оценкам на скорость и время разрушения.
13:00 М.В. Павлов (ФИАН)
Классификация интегрируемых трехмерных квазилинейных
уравнений второго порядка, связанных с интегрируемыми
гамильтоновыми гидродинамическими цепочками.
Аннотация
1. 5 лет назад были описаны интегрируемые гамильтоновые гидродинамические цепочки, ассоциированные со скобками Пуассона "Гельфанда--Дорфман";
2. 6 лет назад был описан класс трехмерных интегрируемых квазилинейных уравнений, имеющих простейшую бездисперсионную пару Лакса.
3. Теперь показано, что эти два типа уравнений связаны друг с другом.
13:00 Л.В. Богданов
О тропической геометрии и 3-мерных тропических уравнениях.
Аннотация
Разностные тропические уравнения записываются при помощи операций взятия максимума и сложения. Относительно этих операций вещественные числа образуют полу-поле (max играет роль "сложения", но без "вычитания", сложение играет роль "умножения"). В этих терминах можно определить и аналоги некоторых геометрических многообразий, в частности грассманиана. Обычное 3-мерное уравнение Хироты при тропикализации теряет однозначность, оно становится соответствием между переменными на грассманиане. Тем не менее, и в этой постановке можно говорить о его интегрируемости.
13:00 Л.В. Богданов
Шестимерное уравнение heavenly и подобные: иерархия, метод одевания.
Аннотация
Я продолжу тему, начатую М. Павловым, про многомерные бездисперсионные уравнения, вкладывающиеся в более низкоразмерные иерархии. Их можно рассматривать отдельно, строить иерархию и метод одевания; функциональная свобода в методе одевания соответствует размерности (задаче Коши).
13:00 М.В. Павлов (ФИАН)
Трехмерные слабонелинейные уравнения второго порядка,
и многомерные уравнения, связанные с ними
Аннотация
Существует классификация трехмерных слабонелинейных уравнений второго порядка (Е.В. Ферапонтов, Дж. Мосс). Показано, что эти уравнения могут быть вложены в иерархию четырехмерных уравнений, которые вложены в шестимерные.
13:00 А.И. Зенчук
Некоторые подходы к проблеме переноса состояния одного спина вдоль открытой цепочки спинов 1/2
Аннотация
Известно несколько способов передачи однокубитного состояния (т.е. квантового состояния одного спина)
между первым и последним звеньями открытой цепочки спинов 1/2. Анализируются две модели такого процесса.
В обеих моделях рассматривается однородная цепочка, за исключением первого и последнего звена
(передатчика и приемника), в которые вносится некоторая неоднородность. В одной модели -- это
удаление передатчика и приемника от основной однородной цепочки, во второй неоднородность создается
с помощью магнитного поля на передатчике и приемнике. Анализируется время и вероятность передачи
состояния в обоих случаях.
13:00 В.Г. Марихин
Действие как инвариант преобразований Бэклунда лагранжевых систем
Аннотация
Мы строим общую теорию преобразований Бэклунда лагранжевых систем, требуя, чтобы действие при применении этих преобразований сохранялось. Обсуждаются известные преобразования Бэклунда для классических солитонных уравнений с точки зрения этого подхода. Получено новое преобразование Бэклунда для уравнения Цицейки.
13:00 А.Б. Шабат
Об одном дискретном аналоге уравнения Шрёдингера
Аннотация
В докладе рассматривается связь обратной задачи рассеяния с классической проблемой моментов.
13:00 Р. Кулаев (ЮМИ, Владикавказ)
О функции Грина краевой задачи для уравнения четвертого порядка на графе
Аннотация
Рассматривается краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка на геометрическом графе, возникающая при моделировании стержневых конструкций. Изучается вопрос о положительности соответствующей функции Грина. Даются необходимое и достаточное условия положительности функции Грина, которые формулируются в терминах свойств однозначно определяемой системы решений уравнения на графе, что позволяет осуществлять их эффективную проверку при помощи вычислительной техники. В случае графа гомеоморфного отрезку показывается, что условия положительности функции Грина эквивалентны условиям ее осцилляционности.
13:00 В.Г. Марихин
Квазиштеккелевы системы. Классификация. Приложения
Аннотация
Рассматриваются квазиштеккелевы системы с 2-мя степенями свободы - обобщения штеккелевых систем на случай ненулевого магнитного поля. В квантовом случае особо рассмотрены Уравнения Шредингера с дополнительным квадратичным по импульсам интегралом, где удается построить полную классификацию. Получены новые квазиштеккелевы системы с 3-мя степенями свободы.
13:00 М.В. Павлов (ФИАН)
Слабо-нелокальные однородные дифференциально-геометрические скобки Пуассона нечетных порядков.
Аннотация
Понятие локальных однородных дифференциально-геометрических скобок первого порядка было
введено Б.А. Дубровиным и С.П. Новиковым в 1983 году. В 1984 году это понятие было расширено
на произвольный порядок. В 1990 году Е.В. Ферапонтовым локальные однородные
дифференциально-геометрические скобки Пуассона первого порядка были обобщены на
слабо-нелокальный случай.
В данном докладе рассматривается обобщение локальных однородных дифференциально-геометрических
скобок Пуассона произвольного нечетного порядка на слабо-нелокальный случай.
13:00 В.Э. Адлер
О комбинаторике некоторых интегрируемых иерархий
Аннотация
Устанавливается соответствие между производящими функциями, связанными с иерархиями Бюргерса, КдФ, Ибрагимова-Шабата и разбиениями множеств некоторых типов. Решается обратная задача перечислительной комбинаторики - поиск комбинаторных объектов с заданной статистикой. Для потенциальной иерархии Бюргерса ответ достаточно хорошо известен: общие разбиения множеств, полиномы и числа Белла, числа Стирлинга 2-го рода. Аналогичные результаты для иерархий КдФ (неперекрывающиеся разбиения, числа Бесселя) и Ибрагимова-Шабата (разбиения типа B, числа Доулинга) являются новыми, хотя пока и неполными.
Ref: V.E.Adler, http://arxiv.org/abs/1501.06086v1
доклад(.pdf)
talk(.pdf)
13:00 А.В. Михайлов (Leeds University)
Преобразования Бэклунда для уравнений, связанных с алгебрами Каца-Муди
13:00 Е.В. Ферапонтов (Loughborough University)
On discrete Hirota-type equations in 3D
Аннотация
We discuss a novel approach to the classification of integrable differential/difference equations in 3D based on the requirement that hydrodynamic reductions of the corresponding dispersionless limits are `inherited' by the dispersive equations. This can be extended to the fully discrete case. Our only constraint is that the initial ansatz possesses a non-degenerate dispersionless limit (this is the case for all known Hirota-type equations). Based on the method of deformations of hydrodynamic reductions, we classify discrete 3D integrable Hirota-type equations within various particularly interesting subclasses. Our method can be viewed as an alternative to the conventional multi-dimensional consistency approach.
Ref: E.V. Ferapontov, V. Novikov and I. Roustemoglou,
http://arxiv.org/abs/1312.1574v1
talk(.pdf)
13:00 М.В. Павлов (ФИАН)
Bi-Hamiltonian "dispersionful" version of WDVV associativity hierarchy
Аннотация
We construct a new integrable system, determined by 3x3 zero curvature representation, which has a bi-Hamiltonian structure and a dispersionless limit.
13:00 А.Б. Шабат
Задача рассеяния и вронскианы
Аннотация
Рассматривается задача о восстановлении потенциала $U(x,k)$ обобщенного уравнения Шредингера $\psi_{xx}=U\psi$ по вронскианам "функций Йоста". Вронскианы в спектральной задаче зависят только от $k$, а коэффициенты $U(x,k)$ только от $x$. Переход к новой независимой переменной $k$ аналогичен в определенной степени преобразованию Фурье и задача рассеяния заключается в изучении свойств мультипликативных интегралов для вронскианов, играющих роль интегралов Фурье.
13:00 Ian Marshall (ВШЭ)
A new model in the Calogero-Ruijsenaars family
Abstract
Hamiltonian reduction is used to project a trivially integrable system on the Heisenberg double of $SU(n,n)$, to obtain a system of Ruijsenaars type on a suitable quotient space. This system possesses $BC_n$ symmetry and is shown to be equivalent to the standard three-parameter $BC_n$ hyperbolic Sutherland model in the cotangent bundle limit.
Ref: Ian Marshall, http://arxiv.org/abs/1311.4641
13:00 А.Б. Жеглов (МГУ)
Об аналоге теории КП в размерности 2
Аннотация
С 70х годов известна теория, объясняющая связь между решениями уравнения
КП (или иерархии КП), кольцами коммутирующих обыкновенных дифференциальных
операторов, спектральными кривыми и геометрией бесконечномерного
грассманиана Сато. В рамках этой теории были построены известные точные
решения уравнений КП, КдФ, и т.п., а также решена проблема Шоттки.
Важной частью этой этой теории является конструкция Кричевера, позволяющая
строить решения по геометрическим данным, состоящим из алгебраической
кривой, точки и линейного расслоения на кривой.
В докладе я расскажу об аналогах некоторых частей этой теории в
размерности два. В частности, я собираюсь рассказать об аналоге
классификации Кричевера коммутирующих обыкновенных дифференциальных
операторов в случае операторов от двух переменных, об аналоге якобиана
спектральной кривой, об аналогах иерархии КП и КП потоков. Эти аналоги
используют обобщение теории М.Сато в размерности два.
13:00 В.В. Соколов
О классификации интегрируемых одномерных операторов Шрёдингера
Аннотация
Рассматриваются обыкновенные дифференциальные операторы второго порядка с полиномиальными коэффициентами, сохраняющие пространства полиномов ограниченной степени. Такие операторы приводятся к канонической форме оператора Шрёдингера, в наиболее невырожденном случае потенциал равен сумме 4-х функций Вейерштрасса. Результаты частично обобщаются на случай двух независимых переменных, это приводит к эллиптической модели Иноземцева.
13:00 М.В. Павлов (ФИАН)
On the bi-Hamiltonian Geometry of WDVV Equations
Abstract
We consider the WDVV associativity equations in the four dimensional case. These nonlinear equations of third order can be written as a pair of six component commuting two-dimensional non-diagonalizable hydrodynamic type systems. We prove that these systems possess a compatible pair of local homogeneous Hamiltonian structures of Dubrovin--Novikov type (of first and third order, respectively).
Ref: M.V. Pavlov, R.F. Vitolo, http://arxiv.org/abs/1409.7647
talk(.pdf)
13:00 А.Б. Шабат
Теория рассеяния для дельта-образных потенциалов
Аннотация
Расширение используемого в методе обратной задачи рассеяния класса потенциалов с явно заданными спектральными характеристиками посредством дельта-образных потенциалов. Задача о нулях целых функций, записанных в виде псевдо-многочленов, приводит к новому понятию спектральной кривой.
13:00 В.Г. Марихин
Диаграммные методы для КдВ и НШ
Аннотация
Диаграммная техника применена для построения решений уравнений КдВ и НШ с произвольными данными рассеяния.
13:00 В.Э. Адлер
О тесте на интегрируемость для эволюционных цепочек порядка > 1
Аннотация
Разработан обобщенный алгоритм "суммирования по частям", позволяющий решать разностные уравнения вида (T^m-a[u])(y)=b[u], где T обозначает оператор сдвига u_j\to u_{j+1}. Разрешимость уравнений такого типа для коэффициентов формальной симметрии (= формального оператора рекурсии) дает удобный тест на интегрируемость для эволюционных дифференциально-разностных уравнений вида \partial_t(u)=f(u_{-m},\dots,u_m). Алгоритм реализован на языке Mathematica. Его применение будет проиллюстрировано несколькими примерами (в том числе, возможно, и новыми).
13:00 М.В. Павлов (ФИАН)
Гидродинамическая цепочка Бенни
Аннотация
Мы показываем, что цепочка Бенни имеет три локальные гамильтоновые структуры, связанные со скобкой Купершмидта--Манина. Определяем понятие модифицированной цепочки Бенни, и дважды модифицированной цепочки Бенни, по аналогии -- как связаны КдФ и модифицированное КдФ. Кроме того, предъявляем модифицированное дКП, и дважды модифицированное дКП, связанные с модифицированной цепочкой Бенни и с дважды модифицированной цепочкой Бенни соответственно.
13:00 Л.В. Богданов (ИТФ)
Об общем уравнении heavenly
Аннотация
Общее уравнение heavenly было введено Дубровым и Ферапонтовым при классификации четырёхмерных симплектических уравнений Монжа-Ампера. Я ввожу представление этого уравнения в терминах дифференциальной 2-формы, зависящей от спектрального параметра, и рассматриваю связанную схему одевания.
15:00 А.К. Погребков (Математический институт им. В.А.Стеклова РАН)
О некоммутативном уравнении Хироты
15:00 А.Б. Шабат
Введение в теорию рассеяния
Аннотация
Показано, что обратная задача рассеяния для оператора Шредингера в случае суммы дельта-образных потенциалов сводится к разложению коэффициента отражения в цепную дробь.
15:00 В.Э. Адлер
О необходимых условиях интегрируемости для эволюционных цепочек
Аннотация
Хорошо известно, что из существования высших симметрий для эволюционного уравнения
u_t=f[u] следует разрешимость уравнения Лакса A_t=[f_*,A], где f_* оператор линеаризации.
В непрерывном случае условия разрешимости записываются в виде последовательности законов
сохранения D_t(r_j)=D_x(s_j), где плотности r_j определяются явными
формулами, в которые входят уже найденные s_{j-1}. Для вывода этих формул можно
применять либо метод канонических плотностей r_j=\res A^j, либо метод разложения
\psi-функции по спектральному параметру
(см.напр. [Мешков,Соколов 2013]).
В дискретном случае u_{n,t}=f(u_{n+m},...,u_{n-m}) аналогичная картина верна только при m=1,
при этом условия интегрируемости имеют вид законов сохранения D_t(r_j)=(T-1)(s_j) и их
анализ позволяет получить полную классификацию
[Ямилов 1983, 2006].
При m>1 условия интегрируемости уже нельзя записать в виде законов сохранения, это связано с тем,
что в дискретном случае из формального ряда A степени k невозможно извлечь корень A^{1/k}.
Цель доклада показать, что, тем не менее, в качестве A всегда можно взять ряд степени m,
и получить отсюда алгоритм проверки на интегрируемость для заданной цепочки.
15:00 М.В. Павлов (Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН) Об уравнении постоянного астигматизма
Аннотация
Уравнение z_{yy}+(1/z)_{xx}+2=0 (constant astigmatism equation) имеющее приложения в дифференциальной геометрии, обладает рядом замечательных свойств. В частности, оно допускает редукцию вида z_y=a(z)z_x+b(z), что позволяет построить семейство точных решений, зависящее от одной произвольной функции одного аргумента. Это семейство пропадает при преобразовании по решению, сводящем CAE к уравнению синус-Гордона.