Классические интегрируемые модели: основные направления исследований

  1. Солитонные уравнения в частных производных
  2. Дифференциально-разностные и дискретные уравнения
  3. Бездисперсионные уравнения
  4. Уравнения Пенлеве
  1. Преобразования Бэклунда-Дарбу
  2. Метод обратной задачи и его компаньоны
  3. Классификация интегрируемых моделей
  4. Открытые задачи



страница в стадии разработки



Солитонные уравнения в частных производных

Одним из основных направлений исследований группы мат. физики в ИТФ Ландау является развитие методов теории интегрируемых уравнений.
график решения (13K)

Дифференциально-разностные и дискретные уравнения

Вот несколько знаменитых примеров:

(1) \(u_{n,t}=u_n(u_{n+1}-u_{n-1})\) цeпочка Вольтерра;
(2) \(u_{n,tt}=e^{u_{n+1}-u_n}-e^{u_n-u_{n-1}}\) цeпочка Тоды;
(3) \(u_{n+1,x}+u_{n,x}=(u_{n+1}-u_n)^2+\alpha_n\) одевающая цeпочка.

Такие уравнения возникают в очень многих задачах. Например, одна из интерпретаций цепочки Вольтерра — описание популяции видов в пищевой цепочке (вид \(n\) питается видом \(n+1\), переменная \(u_n\) задаёт относительную численность вида). Цепочку Тоды можно рассматривать, как уравнение колебаний в одномерной цепочке частиц, соединённых нелинейными пружинами. Уравнение подобного типа (хотя и неинтегрируемое) рассматривалось в численном эксперименте Ферми, Пасты и Улама, послужившем, наряду с уединённой волной Рассела, основой для к возникновения концепции солитона в работе Забуски-Краскала [1]. Метод обратной задачи для цепочки Вольтерра был развит в работе Манакова [3].

В непрерывном пределе (измельчение шага решётки плюс подходящее масштабирование), цепочки (1) и (3) переходят в уравнение КдФ, а цепочка (2) в уравнение НШ. Однако, это не единственно возможная связь между непрерывными и дискретными уравнениями. В теории интегрируемых уравнений, цепочки (1) и (2) трактуются, как преобразования Бэклунда для уравнений типа НШ, а цепочка (3) определяет преобразование Бэклунда для уравнения КдФ.

В интегрируемых цепочках, взаимодействие не обязательно ограничивается только ближайшими соседями. Например, наряду с цепочкой Вольтерра (1) интегрируемой является также цепочка Богоявленского

(4) \(u_{n,t}=u_n(u_{n+m}+\dots+u_{n+1}-u_{n-1}-\dots-u_{n-m}),\)
где \(m\) произвольное натуральное число. Эту цепочку называют также голодной цепочкой Вольтерра, так как она описывает популяцию видов в такой пищевой цепочке, где каждый вид питается сразу несколькими соседями справа (и, соответственно, служит пищей для нескольких соседей слева). Наличие интегрируемых обобщений произвольного порядка по сдвигам является довольно характерной чертой многих разностных моделей. Это объясняется тем, что при дискретизации непрерывная производная \(\partial_x\) заменяется на оператор полной разности \(T-1\), где \(T\) оператор сдвига \(n\to n+1\); однако, с алгебраической точки зрения, этот оператор эквивалентен оператору сдвига \(T^m\) на произвольное число узлов.

Бездисперсионные уравнения

Уравнения Пенлеве

Преобразования Бэклунда-Дарбу

Метод обратной задачи и его компаньоны

Классификация интегрируемых моделей

Открытые задачи

Литература

axaxaxax axaxaxax axaxaxax axaxaxax axaxaxax axaxaxax axaxaxax axaxaxax axaxaxax axaxaxax axaxaxax axaxaxax axaxaxax axaxaxax axaxaxax axaxaxax axaxaxax axaxaxax axaxaxax axaxaxax

V.E. Adler / Last updated: April 5, 2015