Классические интегрируемые системы

В.Э. Адлер, весенний семестр 2020
Занятия проводятся в НМУ, ауд. 310, по понедельникам в 17:30
На время действия карантина лекции отменяются. Материалы будут выкладываться здесь как обычно, возможно с небольшим опозданием для видео.

Конспект лекций   Это устаревшая черновая версия (весна 2018). В этом году содержание многих лекций существенно изменится.
Примерные вопросы к зачету
Список литературы

Ниже даны материалы к лекциям. Решения задач можно присылать по адресу adler at itp.ac.ru.
Презентации и программы иллюстрируют некоторые темы курса или дополнительные сюжеты.
Программы написаны на Mathematica, файлы nb; те, кто ей не пользуется, могут посмотреть распечатки в pdf.

Лекция 1 (10.02) Введение. Примеры интегрируемых уравнений. Солитоны • Векторные поля. Однопараметрические группы преобразований
Задачи
Разностная схема Забуски-Краскала
Система шаров и ящиков
Коммутирующие векторные поля (nb) (pdf)

Лекция 2 (17.02) Некоторые простейшие решения • Законы сохранения КдФ. Преобразование Миуры • Символьные вычисления
Задачи
Решение КдФ в виде бегущей волны (nb) (pdf)
Обращение преобразования Миуры (nb) (pdf)

Лекция 3 (24.02) Разбор задач • Цепочка Вольтерра • Интегрирование по частям и вариационная производная, в непрерывном и разностном случаях
Задачи
Цепочка Вольтерра
Цепочка Вольтерра. Численные эксперименты (nb) (pdf)
Вариационная производная

Лекция 4 (2.03) Представления нулевой кривизны • Алгебраическая конструкция n-солитонного решения КдФ
Задачи
Потенциалы Баргманна (начало)
Вронскианная формула для КдФ (nb) (pdf)

Лекция 5 (9.03) Анализ n-солитонного решения • Фазовый сдвиг
Потенциалы Баргманна (конец)
Волновые функции потенциала Баргманна

Лекция 6 (16.03) Высшие симметрии • Однородные уравнения. Метод неопределенных коэффициентов
Задачи
Видео-запись лекции
Вычисление высших симметрий КдФ (nb) (pdf)
Однородные полиномиальные уравнения (nb) (pdf)

Лекция 7 (23.03) Оператор рекурсии для КдФ • Иерархия нелинейного уравнения Шрёдингера
Задачи
Видео-запись лекции
Иерархия КдФ
Иерархия НШ

Лекция 8 (30.03) Конечнозонные решения КдФ • уравнения Дубровина
Задачи
Видео-запись лекции
Конечнозонные решения

Лекция 9 (6.04) Преобразования Дарбу-Бэклунда • примеры • вывод для уравнения КдФ
Задачи
Видео-запись лекции
Преобразования Бэклунда

Лекция 10 (13.04) Построение n-солитонного решения при помощи ПБ • коммутативность ПБ
Задачи
Видео-запись лекции
Преобразования Бэклунда (продолжение)
Построение солитонов при помощи принципа суперпозиции (nb) (pdf)

Лекция 11 (20.04) Некоммутативные симметрии • решения Пенлеве-типа
Задачи
Некоммутативные симметрии

Лекция 12 (27.04) Решения Пенлеве-типа для цепочек • квазипериодическое замыкание
Задач больше не будет!!!
Квазипериодическое замыкание одевающей цепочки

Планируемые лекции (примерное содержание)
Лекция 13 (4.05) Обзор всего, чего не успели • 3D уравнения • уравнение Кадомцева-Петвиашвили, 2D-Тода, уравнение Хироты-Мивы



Краткое содержание курса
Интегрируемые нелинейные уравнения – это уравнения с частными производными (или дифференциально-разностные, или чисто разностные), для которых удаётся найти метод решения задачи Коши или хотя бы метод построения богатых семейств точных решений, типа многосолитонных. В свою очередь, эти методы опираются на интересные внутренние свойства уравнения, такие как обобщённые симметрии, законы сохранения, преобразования Бэклунда и представления Лакса. В рамках курса мы познакомимся с этими понятиями на примере некоторых наиболее основных и простых моделей (уравнение КдФ, нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение Лиувилля, цепочка Вольтерра, ...), но, конечно, это лишь незначительная часть того, что известно. Эта область науки возникла в конце 60-x, то есть >50 лет назад, и с тех пор неуклонно расширяется. Постоянно находятся новые интегрируемые уравнения, развиваются методы построения решений, возникают связи с другими областями (например, геометрия, гидродинамика, нелинейная оптика). Конечно, все простые задачи давно решены, но предмет ещё далеко не исчерпан, развитие продолжается. Темы для научно-исследовательской работы старшекурсников могут быть связаны, например, (a) с обобщением определений интегрируемости для разностных уравнений и поиском новых примеров; (b) с применением неавтономных симметрий для построения новых классов решений. Это достаточно сложные темы, в которых много открытых вопросов.