Классические интегрируемые системы

В.Э. Адлер, весенний семестр 2020
Занятия проводятся в НМУ, ауд. 310, по понедельникам в 17:30

Конспект лекций   Это устаревшая черновая версия (весна 2018). В этом году содержание многих лекций существенно изменится.
Примерные вопросы к зачету
Список литературы

Ниже даны материалы к лекциям. Решения задач можно присылать по адресу adler at itp.ac.ru.
Презентации и программы иллюстрируют некоторые темы курса или дополнительные сюжеты.
Программы написаны на Mathematica, файлы nb; те, кто ей не пользуется, могут посмотреть распечатки в pdf.

Лекция 1 (10.02) Введение. Примеры интегрируемых уравнений. Солитоны • Векторные поля. Однопараметрические группы преобразований
Задачи
Разностная схема Забуски-Краскала
Система шаров и ящиков
Коммутирующие векторные поля (nb) (pdf)

Лекция 2 (17.02) Некоторые простейшие решения • Законы сохранения КдФ. Преобразование Миуры • Символьные вычисления
Задачи
Решение КдФ в виде бегущей волны (nb) (pdf)
Обращение преобразования Миуры (nb) (pdf)

Краткое содержание курса
Интегрируемые нелинейные уравнения – это уравнения с частными производными (или дифференциально-разностные, или чисто разностные), для которых удаётся найти метод решения задачи Коши или хотя бы метод построения богатых семейств точных решений, типа многосолитонных. В свою очередь, эти методы опираются на интересные внутренние свойства уравнения, такие как обобщённые симметрии, законы сохранения, преобразования Бэклунда и представления Лакса. В рамках курса мы познакомимся с этими понятиями на примере некоторых наиболее основных и простых моделей (уравнение КдФ, нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение Лиувилля, цепочка Вольтерра, ...), но, конечно, это лишь незначительная часть того, что известно. Эта область науки возникла в конце 60-x, то есть >50 лет назад, и с тех пор неуклонно расширяется. Постоянно находятся новые интегрируемые уравнения, развиваются методы построения решений, возникают связи с другими областями (например, геометрия, гидродинамика, нелинейная оптика). Конечно, все простые задачи давно решены, но предмет ещё далеко не исчерпан, развитие продолжается. Темы для научно-исследовательской работы старшекурсников могут быть связаны, например, (a) с обобщением определений интегрируемости для разностных уравнений и поиском новых примеров; (b) с применением неавтономных симметрий для построения новых классов решений. Это достаточно сложные темы, в которых много открытых вопросов.